Поверхность Эннепера, Дипломная работа с презентацией

1,499.00руб.

Минимальные поверхности, и в частности, поверхности Эннепера, нашли широкое применение в архитектуре и строительстве при проектировании тентовых оболочек, в компьютерной графике, в архитектуре космических конструкций, в технике при проектировании металлорежущих станков и инструментов.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Основная часть описания поверхности Эннепера и её использования в архитектуре и строительстве
Заключение
Список используемых источников

Описание

ВВЕДЕНИЕ

Минимальные поверхности появляются при решении следующей вариационной задачи (задачи Плато): в пространстве дана некоторая замкнутая кривая γ; среди всех возможных поверхностей, проходящих через кривую γ, найти такую поверхность, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую (минимальную) площадь.
Если заданная кривая γ — плоская, то решением задачи Плато, очевидно, будет кусок плоскости, ограниченный кривой γ.
В случае неплоской кривой γ необходимое условие, которому должна удовлетворять искомая поверхность с минимальной площадью, было установлено Ж. Лагранжем в 1760 году и позже истолковано геометрически Ж. Менье в форме, эквивалентной требованию, чтобы средняя кривизна обращалась в нуль. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии название «минимальные поверхности» было сохранено за всякой поверхностью с нулевой средней кривизной.

Любой человек неоднократно сталкивался с минимальными поверхностями. Например, если погрузить пластмассовое кольцо из набора для пускания пузырей в сосуд с мыльной водой, то действие поверхностного натяжения приводит к тому, что образующаяся мыльная пленка принимает совершенно плоскую форму, стремясь иметь минимальную возможную площадь. Выражаясь математическим языком, минимальная поверхность является наименьшей по площади из всех поверхностей, которые можно натянуть на заданный замкнутый контур.

В XIX столетии бельгийский физик Жозеф Плато провел в этой области серию классических экспериментов, состоявших в погружении изогнутых различными способами кусков проволоки в сосуды с мыльной водой. Плато сделал вывод, что мыльные пленки, которые образовывались в ходе эксперимента, всегда имели минимальную поверхность. Более того, он предположил, что для любой замкнутой кривой всегда можно найти минимальную поверхность, контуром которой служила бы данная кривая. В большинстве случаях будет существовать только одна минимальная поверхность — и тогда задача будет иметь единственное решение. Но в некоторых случаях существует больше чем одна поверхность с минимальной площадью, и до сих пор не известно, сколько их будет всего.

Жозеф Плато выдвинул гипотезу, согласно которой для любой простой замкнутой кривой всегда можно найти минимальную поверхность – иными словами, поверхность минимально возможной площади, ограниченную данной кривой. Минимальной поверхностью, натянутой на замкнутую кривую, показанную на рис. 1, является так называемая поверхность Эннепера, полученная в 1864 году немецким математиком Альфредом Эннепером.

image004
Рисунок 1.

Другими примерами минимальных поверхностей могут служить:
обыкновенная винтовая поверхность (рис. 2), катеноид (рис.3) – единственная вещественная минимальная поверхность среди поверхностей вращения, «поверхность Шерка» (рис. 4).

image005

Рисунок 2.

image006

Рисунок 3.

image007

Рисунок 4.

Внешний контур поверхности Эннепера можно построить следующим образом.

Рассмотрим сферу (поверхность шара). Пусть эта сфера для наглядности будет прозрачной. Насадим эту сферу на вертикальную ось, чтобы она могла крутиться в горизонтальной плоскости. Представим себе какой-то объект («материальную точку»), который может бегать только по поверхности сферы, никогда ее не покидая. Заставим материальную точку колебаться в вертикальном направлении: точка бегает по сфере вверх-вниз (возможно, от северного полюса до южного полюса), а сфера «у нее под ногами» крутится вокруг вертикальной оси. При этом подберем такие частоты вращения сферы и колебания точки, чтобы траектория движения точки была замкнутой. Полученная траектория движения точки по сфере служит внешним контуром поверхности Эннепера (рис. 5). Поверхность Эннепера – это просто минимальная поверхность («мыльная пленка»), которая натянута на построенный контур. Значение кривизны поверхности Эннепера можно изменять, меняя амплитуду колебания точки (рис. 6).

image008

Рисунок 5.

image009

Рисунок 6.

Если искать минимальную поверхность заданную явным уравнением z = f (х, у), то, приравнивая к нулю выражение для средней кривизны, приходим к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка:
beshennaya-formula-nomer-odin

где beshennaya-formula-nomer-dva
Исследованием этого уравнения в различных формах занимались многие математики, начиная с Ж. Лагранжа и Г. Монжа. Изучение различных геометрических вопросов, связанных с минимальными поверхностями продолжаются и в наши дни.

Минимальные поверхности, и в частности, поверхности Эннепера, нашли широкое применение в архитектуре и строительстве при проектировании тентовых оболочек, в компьютерной графике, в архитектуре космических конструкций, в технике при проектировании металлорежущих станков и инструментов.

Объектом исследования данной работы являются геометрические свойства минимальной поверхности Эннепера. Актуальность темы исследования обусловлена широким техническим использованием поверхности Эннепера.

При выполнении дипломной работы применялись теория и алгоритмы из аналитической и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и математического анализа.

5 отзывов на Поверхность Эннепера, Дипломная работа с презентацией

  1. Оценка 4 из 5

    admin

    диплом защитил!) спасибо за оперативность) в следующий раз буду внимательнее с датами защиты…

  2. Оценка 3 из 5

    Голубчикова Настя

    Огромнейшее спасибо компании Магистр за оперативность! написали мне работу за неделю! доработки выполнили по ней быстро, так как у меня сроки горели. я довольна результатом и отношением ко мне, к клиентам!)

  3. Оценка 3 из 5

    Владимир

    Прекрасная компания! Заказал дипломную работу по финансовому анализу и остался очень доволен. Выполнили на самом высоком уровне. Главное, что по антиплагиату было 92% оригинальности, что выше всяких похвал. Научный руководитель был тоже очень доволен работой и практически без доработок допустил к защите. Очень важно что мне сделали бесплатный доклад на защиту и раздаточный материал. Даже отзыв положительный написали – короче полный фарш и сервис. Всем очень доволен – не подвели и все сделали на высшем уровне. Всем рекомендую обращаться в эту компанию – точно не пожалеете!

  4. Оценка 5 из 5

    Регина

    Все великолепно, спасибо! Диплом на отлично с Вами!

  5. Оценка 3 из 5

    Виталина

    Здравствуйте! Заказывали с другом две курсовых по термодинамике. Курсовые были достаточно сложные, поскольку имелись заморочки преподавателя. Нас сопровождал в течение всего проекта очень грамотный помощник, и нам удалось защитить курсовые на четверки, чему были очень рады. По оплате изначально выходило 3000 р., но так как заказывали сразу две курсовых, то получили скидку в 20%…

Добавить отзыв

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *